Chi-Quadrat-Test in der Genetik

Vertiefung zum ThemaWahrscheinlichkeit in der Genetik

Erwartet waren 3 : 1, gezählt hast du 705 zu 224. Passt das noch – oder steckt hinter der Abweichung mehr als Zufall? Genau diese Frage beantwortet der Chi-Quadrat-Test. Er gehört in der Oberstufe zum Standardwerkzeug, wenn Kreuzungsergebnisse ausgewertet werden.

Einfach erklärt

Diese Seite vertieft das Thema Wahrscheinlichkeit in der Genetik. Bei einer Kreuzung erwartest du zum Beispiel 3 : 1. Gezählt hast du aber 705 zu 224. Kleine Abweichungen sind normal. Sie entstehen durch Zufall. Der Chi-Quadrat-Test prüft: Ist die Abweichung noch Zufall?

Zuerst stellst du eine Nullhypothese auf. Das ist eine Annahme. Sie sagt: Die Zahlen passen zum Verhältnis. Dann berechnest du die erwarteten Zahlen. Aus den Abweichungen berechnest du einen Wert. Diesen Wert vergleichst du mit einem kritischen Wert aus einer Tabelle.

Das Wichtigste:

• Dein Wert ist kleiner? Dann behältst du die Annahme.
• Dein Wert ist größer? Dann verwirfst du die Annahme.
• Rechne immer mit gezählten Zahlen, nie mit Prozenten.
• Der Test zeigt nur: Die Daten sprechen gegen die Annahme oder nicht.

Merke: Der Chi-Quadrat-Test kann eine Annahme verwerfen, aber nie beweisen.

Wozu ein Chi-Quadrat-Test in der Genetik?

Kreuzungsergebnisse treffen ein erwartetes Verhältnis fast nie exakt. Das liegt am Zufall: Welche Keimzellen zusammentreffen, ist bei jeder Befruchtung neu ausgewürfelt. Kleine Abweichungen sind deshalb normal. Große Abweichungen können dagegen ein Hinweis sein, dass die Hypothese nicht stimmt – etwa weil zwei Gene gekoppelt sind oder ein Genotyp schlechter überlebt.

Der Test arbeitet mit einer Nullhypothese (H₀): „Die Daten folgen dem erwarteten Verhältnis, Abweichungen sind zufällig.“ Vorher legst du fest, welche Irrtumswahrscheinlichkeit du akzeptierst, das Signifikanzniveau α. In der Biologie üblich ist α = 0,05, also 5 %. Die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung dahinter stehen auf der Seite Mathematik und Biologie.

Chi-Quadrat-Test Schritt für Schritt: Mendels dihybride Kreuzung

Mendel kreuzte gelb-runde mit grün-runzligen Erbsen und erhielt in der F2 insgesamt 556 Samen. Nach der dihybriden Kreuzung erwartet man 9 : 3 : 3 : 1.

1. 1. Nullhypothese aufstellenH₀: Die F2 spaltet im Verhältnis 9 : 3 : 3 : 1; die Abweichungen sind zufällig.
2. 2. Erwartungswerte berechnenGesamtzahl mal Anteil: 556 · 9/16 = 312,75; 556 · 3/16 = 104,25 (zweimal); 556 · 1/16 = 34,75.
3. 3. Für jede Klasse (B − E)² : E berechnenSiehe Tabelle. Immer mit absoluten Anzahlen rechnen, nie mit Prozenten.
4. 4. Summierenχ² = 0,016 + 0,101 + 0,135 + 0,218 ≈ 0,47.
5. 5. Freiheitsgrade bestimmenAnzahl der Klassen minus 1: 4 − 1 = 3.
6. 6. Vergleichen und entscheidenKritischer Wert bei 3 Freiheitsgraden und α = 0,05: 7,81. Da 0,47 < 7,81, wird H₀ nicht verworfen.

Phänotyp	beobachtet B	erwartet E	(B − E)² : E
gelb, rund	315	312,75	0,016
gelb, runzlig	101	104,25	0,101
grün, rund	108	104,25	0,135
grün, runzlig	32	34,75	0,218
Summe	556	556	χ² ≈ 0,47

Kritische Werte und Freiheitsgrade

Die Freiheitsgrade (df) geben an, wie viele Klassen frei variieren können, wenn die Gesamtzahl feststeht. Bei einem vorgegebenen Verhältnis gilt: df = Anzahl der Klassen − 1. Ein 3 : 1-Verhältnis hat also 1 Freiheitsgrad, 1 : 2 : 1 hat 2, und 9 : 3 : 3 : 1 hat 3. Je mehr Freiheitsgrade, desto größer darf χ² zufällig werden, und desto höher liegt der kritische Wert.

Freiheitsgrade	1	2	3	4	5
α = 0,05	3,84	5,99	7,81	9,49	11,07
α = 0,01	6,63	9,21	11,34	13,28	15,09

Das Ergebnis richtig deuten

„Nicht verworfen“ heißt nicht „bewiesen“. Ein kleiner χ²-Wert zeigt nur, dass die Daten nicht gegen die Hypothese sprechen. Andere Hypothesen könnten genauso gut passen, besonders bei kleinen Stichproben.

Ein signifikantes Ergebnis verlangt nach einer Erklärung. Ein Beispiel ist eine Testkreuzung bei der Taufliege mit den Zahlen 965, 944, 206 und 185. Bei unabhängiger Vererbung erwartet man 1 : 1 : 1 : 1, also je 575. Das ergibt χ² ≈ 1003 – weit über 7,81. Die Nullhypothese wird verworfen. Die biologische Erklärung: Die beiden Gene liegen gekoppelt auf demselben Chromosom. Der Test sagt also nur, dass etwas nicht stimmt; warum, muss die Biologie beantworten. Weitere mögliche Ursachen sind schlechter lebensfähige Genotypen oder ein anderer Erbgang.

Wie man mit Wahrscheinlichkeiten die Erwartungswerte überhaupt erst aufstellt, zeigt die Seite Produktregel und Summenregel.

Vertiefung Oberstufe: Prüft eine Population das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht?

Den Chi-Quadrat-Test kannst du auch in der Populationsgenetik einsetzen. In einer Stichprobe von 500 Menschen findet man zum Beispiel für die kodominante MN-Blutgruppe 145 MM, 240 MN und 115 NN. Daraus folgt p(M) = 0,53 und q(N) = 0,47.

Unter dem Hardy-Weinberg-Gleichgewicht erwartet man p² · 500 = 140,45 MM, 2pq · 500 = 249,1 MN und q² · 500 = 110,45 NN. Damit ergibt sich χ² = 4,55² : 140,45 + 9,1² : 249,1 + 4,55² : 110,45 ≈ 0,15 + 0,33 + 0,19 ≈ 0,67.

Jetzt kommt eine Besonderheit bei den Freiheitsgraden: Die Erwartungswerte wurden nicht aus einem vorgegebenen Verhältnis berechnet, sondern mit p, das selbst aus den Daten geschätzt wurde. Für jeden aus den Daten geschätzten Wert geht ein weiterer Freiheitsgrad verloren: df = 3 Klassen − 1 − 1 = 1. Der kritische Wert ist daher 3,84. Da 0,67 < 3,84, gibt es keinen Hinweis auf eine Abweichung vom Hardy-Weinberg-Gleichgewicht. Wie man mit dem Modell selbst rechnet, üben die Hardy-Weinberg-Aufgaben.

Fachbegriffe

Nullhypothese (H₀)

Annahme, dass die Daten dem erwarteten Verhältnis folgen und Abweichungen zufällig sind.

Erwartungswert

Anzahl, die man bei gültiger Hypothese erwartet: Gesamtzahl mal erwarteter Anteil.

Freiheitsgrade

Zahl der Klassen, die frei variieren können; bei vorgegebenem Verhältnis Klassen minus 1.

Signifikanzniveau α

Vorher festgelegte Irrtumswahrscheinlichkeit, meist 0,05.

kritischer Wert

Grenzwert aus der χ²-Tabelle; wird er überschritten, wird H₀ verworfen.

signifikant

Abweichung, die beim gewählten α nicht mehr als Zufall erklärt wird.

Weiterlernen