Produktregel und Summenregel in der Genetik

Vertiefung zum ThemaWahrscheinlichkeit in der Genetik

Multiplizieren oder addieren? An dieser einen Entscheidung hängen in Genetik-Klausuren viele Punkte. Die Produktregel und die Summenregel sind schnell gelernt – schwierig wird es erst, wenn beide in einer Aufgabe vorkommen. Mit einem Baumdiagramm und fünf Aufgabentypen rechnest du jede Familienfrage sicher.

Einfach erklärt

Diese Seite vertieft das Thema Wahrscheinlichkeit in der Genetik. In vielen Aufgaben fragst du dich: Multiplizieren oder addieren? Zwei Regeln helfen dir dabei.

Die Produktregel gilt für „und“. Zwei Dinge sollen beide passieren. Sie beeinflussen sich dabei nicht. Ein Beispiel: Die Mutter gibt a weiter und der Vater gibt a weiter. Jedes passiert mit ½. Zusammen sind es ½ · ½ = ¼. Die Summenregel gilt für „oder“. Ein Ergebnis entsteht auf verschiedenen Wegen. Die Wege können nicht zugleich passieren. Dann zählst du die Wege zusammen.

Das Wichtigste:

• Ein Baumdiagramm zeigt alle Wege als Äste.
• Entlang von einem Ast multiplizierst du. Passende Äste addierst du.
• Bei „mindestens eins“ rechnest du am besten mit dem Gegenteil. Du ziehst „keins“ von 1 ab.
• Alle Ergebnisse zusammen ergeben immer 1.

Merke: „Und“ heißt multiplizieren, „oder“ heißt addieren.

Produktregel in der Genetik: UND heißt multiplizieren

Zwei Ereignisse heißen unabhängig, wenn das Eintreten des einen nichts an der Wahrscheinlichkeit des anderen ändert. Genau das trifft in der Genetik oft zu: Welches Allel die Mutter weitergibt, beeinflusst nicht, welches der Vater weitergibt. Ob das erste Kind ein Allel erbt, ändert nichts für das zweite Kind. Und Gene auf verschiedenen Chromosomen werden unabhängig voneinander verteilt. In allen drei Fällen gilt die Produktregel:

P(A und B) = P(A) · P(B)

Frage	Rechnung	Ergebnis
Mutter Aa gibt a weiter und Vater Aa gibt a weiter	½ · ½	¼
Zwei Kinder von Aa × Aa sind beide aa	¼ · ¼	1/16
Kind von AaBb × AaBb ist aabb (Gene ungekoppelt)	¼ · ¼	1/16
Kind von AaBbCc × AaBbCc zeigt alle drei dominanten Merkmale	¾ · ¾ · ¾	27/64

Die dritte und vierte Zeile zeigen, warum die Produktregel so praktisch ist: Ein Kreuzungsquadrat für drei Gene hätte 64 Felder. Mit der Regel rechnest du jedes Gen einzeln und multiplizierst. Wie das beim dihybriden Erbgang Schritt für Schritt funktioniert, zeigt die Seite dazu.

Summenregel: ODER heißt addieren

Die Summenregel brauchst du, wenn ein Ergebnis auf mehreren Wegen zustande kommen kann. Wichtig ist die Bedingung: Die Wege müssen sich gegenseitig ausschließen, sie dürfen also nicht gleichzeitig eintreten können.

P(A oder B) = P(A) + P(B), wenn A und B sich ausschließen.

1. Mischerbiges Kind bei Aa × AaWeg 1: A von der Mutter und a vom Vater (¼). Weg 2: a von der Mutter und A vom Vater (¼). Beide Wege schließen sich aus: P(Aa) = ¼ + ¼ = ½.
2. Dominanter Phänotyp bei Aa × AaDas Kind ist AA (¼) oder Aa (½): P = ¼ + ½ = ¾.
3. Blutgruppe A oder B bei A0 × B0Das Kind ist A0 (¼) oder B0 (¼): P = ½.

Beide Regeln kombiniert: das Baumdiagramm

Viele Aufgaben brauchen beide Regeln. Dann hilft ein Baumdiagramm: Jeder Ast steht für ein Ereignis mit seiner Wahrscheinlichkeit. Entlang eines Pfades multiplizierst du (Produktregel), passende Pfade addierst du (Summenregel). Abb. 1 zeigt das für zwei Kinder eines Elternpaares Aa × Aa.

Der Trick mit dem Gegenereignis spart viel Arbeit: „Mindestens ein Kind ist aa“ umfasst drei Pfade, das Gegenteil „kein Kind ist aa“ nur einen. Also: P(mindestens eines) = 1 − P(keines) = 1 − (¾)² = 7/16. Bei mehr Kindern wird der Vorteil noch größer.

Rechentraining: fünf typische Aufgabentypen

Fast jede Wahrscheinlichkeitsfrage zu Familien lässt sich einem dieser Typen zuordnen. Grundlage sind die Rechenwege, die auf der Seite Mathematik und Biologie eingeführt werden.

Aufgabentyp	Rechenweg	Beispiel (Aa × Aa, P(aa) = ¼)
ein bestimmter Genotyp bei einem Kind	Keimzellen multiplizieren, Wege addieren	P(Aa) = ½
alle n Kinder gleich	Produktregel: pn	drei Kinder aa: (¼)³ = 1/64
mindestens eines von n Kindern	Gegenereignis: 1 − (1 − p)n	bei drei Kindern: 1 − 27/64 = 37/64
genau k von n Kindern, Reihenfolge egal	Pfade zählen · Pfadwahrscheinlichkeit	genau eines von zwei: 2 · ¼ · ¾ = 3/8
mehrere ungekoppelte Gene	jedes Gen einzeln, dann multiplizieren	P(AaBb) bei AaBb × AaBb: ½ · ½ = ¼

Ob ein beobachtetes Ergebnis zur berechneten Erwartung passt, prüfst du bei großen Zahlen mit dem Chi-Quadrat-Test.

Vertiefung Oberstufe: Binomialverteilung und Pascalsches Dreieck

Mit wachsender Kinderzahl wird das Baumdiagramm schnell unübersichtlich. Bei n Kindern gibt es 2ⁿ Pfade. Zum Glück haben alle Pfade mit genau k betroffenen Kindern dieselbe Wahrscheinlichkeit p^k · (1 − p)^{n − k}. Man muss also nur noch zählen, wie viele solche Pfade es gibt. Diese Zahl ist der Binomialkoeffizient „n über k“. Daraus folgt die Binomialverteilung:

P(genau k von n) = (n über k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

Die Binomialkoeffizienten kannst du im Pascalschen Dreieck ablesen: Jede Zahl ist die Summe der beiden Zahlen darüber. Die Zeilen lauten 1 · 1 1 · 1 2 1 · 1 3 3 1 · 1 4 6 4 1 · 1 5 10 10 5 1. In Zeile n = 2 steht zum Beispiel „1 2 1“: Bei zwei Kindern gibt es einen Pfad mit keinem, zwei Pfade mit genau einem und einen Pfad mit zwei betroffenen Kindern – genau wie in Abb. 1.

Beispiel: Ein Paar Aa × Aa hat fünf Kinder. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei davon aa sind, ist 10 · (¼)² · (¾)³ = 10 · 1/16 · 27/64 = 270/1024 ≈ 26 %. Dass mindestens eines aa ist, hat die Wahrscheinlichkeit 1 − (¾)⁵ = 1 − 243/1024 = 781/1024 ≈ 76 %. Daran siehst du: Selbst bei fünf Kindern ist es gut möglich (rund 24 %), dass in einer Familie mit zwei Anlageträgern gar kein Kind betroffen ist.

Fachbegriffe

Produktregel

Wahrscheinlichkeit, dass unabhängige Ereignisse gemeinsam eintreten: Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Summenregel

Wahrscheinlichkeit, dass eines von mehreren sich ausschließenden Ereignissen eintritt: Wahrscheinlichkeiten addieren.

unabhängige Ereignisse

Ereignisse, bei denen das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert.

Gegenereignis

Das Ereignis „nicht A“; es gilt P(nicht A) = 1 − P(A).

Baumdiagramm

Verzweigte Darstellung aller möglichen Ausgänge mit ihren Wahrscheinlichkeiten.

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